Deux visages du calcul des probabilités : bayésien et fréquentiste

by Christian on 31 août, 2013

Après Les conditions d’émergence des probabilités puis La mesure du probable et l’entre-deux des catégories, et à présent où je vais aborder le calcul des probabilités (c’est à dire la mathématisation du probable), je ne peux plus repousser l’exposition d’une dualité interne et épistémologique de l’histoire des probabilités.

Il y a en effet deux conceptions des probabilités, toutes deux présentes dès les débuts de la mathématisation du probable. On parle ainsi :

  • d’une part des probabilités fréquentistes, il s’agit de probabilités dites objectives et  a posteriori , visant à dégager les lois stochastiques de processus aléatoires tendanciels dans des statistiques de fréquence à long terme.
  • et d’autre part des probabilités bayesiennes, où il s’agit de probabilité subjective, de degré de certitude a priori. On doit notamment à Condorcet d’avoir présenté les probabilités subjectives comme étant des « raisons de croire », c’est à dire de présenter le calcul des probabilités comme relevant d’une théorie de la connaissance plus que d’une théorie de la nature.

Alain Derosières [2002], rappelle que :

« La distinction entre les deux faces de la notion de probabilité ne sera formulée explicitement qu’au 19° siècle, par exemple par Cournot (Exposition de la théorie des chances et des probabilités, 1843) qui opposera « probabilité » et « chance », ou encore : « les probabilités objectives, qui donnent la mesure de la possibilité des choses, et les probabilités subjectives, relatives en partie à nos connaissances, en partie à notre ignorance, variables d’une intelligence à l’autre, selon leurs capacités et les données qui leurs sont fournies ».

Il y a ainsi d’un côté des probabilités dites « fréquentistes » qui s’intéressent à l’occurrence d’un évènement parmi un nombre total et significatif d’observations, et de l’autre les probabilités bayésiennes qui sont des mesures du degré de connaissances subjectives qui représentent la traduction chiffrée d’un état de connaissance.

Et puisque j’ai évoqué le terme de « bayesien » je me dois de rappeler que nous devons la formulation mathématique des probabilités subjectives au révérend Thomas Bayes et à Laplace (quasiment en même temps, mais seul Laplace a mesuré toute la portée de la formule), mais l’histoire a retenu le nom de Bayes.

Deux cent ans plus tard, dans les années 1970, le débat et les polémiques faisaient rage entre les « fréquentistes » les « bayesiens » ; mais les deux points de vue ne sont pas en opposition : les probabilités fréquentistes et bayésiennes disent la même chose dès qu’on est sur des grands nombres. Ce n’est que sur des petits nombres et des faibles occurrences que l’induction bayesienne se révèle plus utile, notamment pour les cas qui ont attiré l’attention de Ginzburg dans son essai sur le paradigme indiciaire.

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Les probabilités fréquentistes sont associées au traitement en général, par un décideur collectif, de problèmes pour lesquels des mises en équivalence (les classes d’équivalences que sont les catégories de la statistique) sont politiquement et socialement plausibles. Les questions taxinomiques, c’est à dire catégorielles, sont supposées réglées en amont, même si elles peuvent faire l’objet d’une révision ; et en tout cas c’est la fréquence des occurrences – leur répétition – qui donne du corps et constitue la charpente de l’édifice qui va héberger les grands nombres.

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 Les probabilités subjectives et bayésiennes sont au contraire sollicitées dans des situations et pour des choix n’impliquant pas l’idée d’une répétition. Cela peut être une décision individuelle – dois-je accepter cette proposition de contrat de travail ? – mais aussi impliquant un collectif quand un état se demande s’il doit faire la guerre ou signer un traité de paix.

Les probabilités bayesiennes supposent l’évaluation, au moins approximative d’une probabilité a priori d’un évènement inconnu, passé ou futur. En effet, la formule de Bayes fait apparaître une distinction et une articulation entre probabilité a priori et probabilité a posteriori. Du point de vue fréquentiste, quelque chose comme une « probabilité a priori » est un non-sens.

Ce qu’il y a d’intéressant dans la notion de probabilité a priori est que cette probabilité est souvent l’avis de l’expert ou du sachant qui donne une première estimation, a priori donc. La formule bayesienne laisse donc une part à l’intuition ; ce que se refusent les probabilités fréquentistes qui ne traitent que des états de nature.

Les problèmes de décision judiciaire (condamner ou non un accusé) et de décision médicale (diagnostiquer et traiter) relèvent pleinement de la démarche probabiliste bayesienne.

Les « moments » bayésiens et fréquentistes

Quels sont, historiquement, les périodes et les moments qui sont plutôt bayesiens ou plutôt fréquentistes ?

  • Le XVII° siècle est celui de l’émergence des probabilités et de la mathématisation des problèmes de hasard et de chance.
  • Le XVIII° siècle fait une large place aux probabilités subjectives et bayesiennes.
  • Le XIX° siècle en revanche, avec la constitution des états nations industriels, va être résolument fréquentiste avec son corrélât de plans de classements démographiques, industriels, économiques et administratifs ; il procède à la création de nouvelles classes d’équivalences, c’est à dire de nouvelles catégories statistiques comme l’ « homme moyen » de Quetelet (1846) jusqu’à des catégories statistiques très courantes aujourd’hui : taux de natalité, chômage, indices d’inflation, etc.
  • le XX° signera le retour en force des probabilités bayésiennes, très corrélées au développement de l’informatique.

 

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Pierre Dolez février 28, 2016 à 12:33

Bonjour,
J’ai lu avec intérêt votre papier.
Mais je l’ai perçu comme les deux définitions du même terme « probabilité ». L’une, objective, basées sur notions mathématiques précises, l’autre, subjectives et qui ne s’appuie que sur l’expérience et l’intuition. Le fait qu’on puisse les opposer ou les comparer laisse penser qu’on peut réellement les mettre sur le même plan, voire les combiner.
Je crains que cet amalgame entre deux notions différentes et approches comparées entre des situations n’ayant aucun rapport n’apporte le trouble chez certains.

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